Herleitung der Integration für Funktionen von R² nach R bezogen auf das Riemannintegral

Historisch liegen die Wurzeln der Integralrechnung in der Ermittlung von Fl cheninhalten, da man es sich zur Aufgabe machte, den Fl cheninhalt auch solcher ebenen Gebilde zu ermitteln, die nicht durch Polygone begrenzt werden. Methodische Ans tze finden sich zwar bereits bei Archimedes, Cavalieri und Barrow, die systematische Entwicklung aber beginnt erst mit der Entdeckung des Zusammenhangs von Differentiation und Integration durch Leibniz und Newton um 1670. Durch sie wurde die Integralrechung im eigentlichen Sinne als calculus summatorius" und sp ter als calculus integralis" begr ndet. Leibniz war es dann auch, der am 29. Oktober 1675 das Integralzeichen festlegte. Es stellt ein stilisiertes S dar, welches dem Wort Summe entnommen wurde. Der Zusammenhang zwischen Summation und Integration ist schon mit der Herleitung gegeben, wie sp ter deutlich wird. Eine Pr zisierung des Integralbegriffs f r stetige Funktionen nahm erstmals Cauchy (1823) in Angriff. Riemann (1854) erweiterte diesen auf etwas allgemeinere Funktionen. Einen andersartigen, wesentlich flexibleren und sehr umfassenden Integralbegriff f hrte Lebesque (1902) ein. (vgl. Wolff, 1967, S.61 und K nigsberger, 1999, S.191f) Die vorliegende Examensarbeit beschr nkt sich im Wesentlichen auf das Integral stetiger Funktionen in R bezogen auf das Riemannintegral, das in Kapitel I 1 hergeleitet und durch einige Eigenschaften, den Mittelwertsatz der Integralrechnung, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Definition der Stammfunktion beschrieben wird. In Kapitel I 2 wird die Herleitung auf die Integration stetiger Funktionen in 2R erweitert und somit ein direkter Vergleich zum Integral stetiger Funktionen in R geschaffen. Anschlie end wird in Kapitel I 3 gezeigt, wie man das Doppelintegral durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen berechnen kann, was uns zum Satz von Fubini f hrt.