Introdução à Teoria da Homotopia Abstrata

Decidir quando dois espa os topol gicos dados s o ou n o homeomorfos uma tarefa rdua. De outro lado, o problema de classifica o de estruturas alg bricas , ao menos em primeira inst ncia, mais simples. A Topologia Alg brica visa construir regras, chamadas de functores, que nos permitam atacar o problema de classifica o topol gica no contexto alg brico. Tais functores se dividem em duas classes: os grupos de homotopia e as teorias de cohomologia. Ambos possuem a propriedade comum de serem invariantes por homotopia e de possu rem sequ ncias exatas longas associadas. Por outro lado, grupos de homotopia s o puramente topol gicos, enquanto que as teorias de cohomologia possuem um passo alg brico intermedi rio, ligado lgebra Homol gica, o que as torna muito mais f ceis de computar. Esse paralelo entre topologia e lgebra sugere a exist ncia de uma linguagem mais abstrata capaz de unificar teoria da homotopia para espa os topol gicos e lgebra Homol gica. Esta linguagem, cujos fundamentos remontam os trabalhos de Quillen e Grothendieck, precisamente o assunto deste livro.