Die Nullstellen der Weierstraß'schen p-Funktion nach Martin Eichler und Don Zagier. Überlagerungstheorie und Jacobiformen

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2021 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,0, Ruprecht-Karls-Universit t Heidelberg, Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit behandelt die explizite Darstellung aller Nullstellen der Weierstra 'schen p-Funktion auf Basis der von Martin Eichler und Don Zagier gewonnenen Erkenntnisse. Im ersten Abschnitt werden zun chst grundlegende, wohlbekannte Resultate aus der Funktionentheorie rekapituliert. Diese beziehen sich zum einen unmittelbar auf die Weierstra 'sche p-Funktion, und zum anderen auf die Theorie der Modulformen. Darauf aufbauend wird die berlagerungstheorie eingeführt, um nützliche Aussagen über die als analytisches Gebilde aufgefasste Nullstellenmenge der p-Funktion zu treffen. Es werden verzweigte und unverzweigte berlagerungen behandelt, die die Angabe einer Laurentreihe zu der lokal definierten z0-Funktion ermöglichen. Der dritte Teil der Arbeit behandelt Jacobiformen, die als Erweiterung der Modulformen in zwei Variablen verstanden werden. Im Zentrum steht hier, dass die p-Funktion eine meromorphe Jacobiform vom Gewicht 2 und dem Index 0 ist und dass eine konkrete Fourierentwicklung angegeben werden kann. All diese vorher erarbeitenden Erkenntnisse werden im konkreten Beweis der Nullstellenformel nach D.Zagier und M.Eichler im vorletzten Kapitel zusammengebracht. In einem kurzen, abschlie enden Ausblick wird eine weiterf hrende Aussagen formuliert und hervorgehoben, dass auch andere Funktionen die gleichen Nullstellen wie p(z, τ ) haben k nnen.